Higher Kinded Type - 高阶类类型

Thu, 28 May 2020 00:00:00 +0800

Higher Kinded Type - 高阶类类型

Kind

“kind"中文翻译也是“类型”，这样就跟"type"有些混淆。下文仅将“type”翻译类型。

Kind是类型理论(Type Theory)中的定义。一个kind便是一个类型构造器的类型(the type of a type constructor)，或者说是高阶类型类型操作符的类型(the type of a higher-order type operator)。

Kind System本质上是简单类型Lambda演算(simply typed lambda calculus)的“上一层”。定义一个原始类型(primitive type)(记作*/$*$、称之为“type”)，它是任意数据类型(data type)的kind，不需要任何类型参数。

kind有个可能看上去有些莫名其妙的解释：“(数据)类型的类型”（type of a (data) type），但实际上它也有些元数指示的意思。从语法上讲，可以很自然地将多态类型视为类型构造器，因此非多态类型可以视为一个0元类型构造器/无参类型构造器，所有的无参类型构造器都是相同的、最简单的kind，便是*/$*$

高阶类型操作符在编程语言中并不常见，在大多数编程实践中，kind用于区分数据类型和用于实现参数化多态的构造器类型(types of constructors which are used to implement parametric polymorphism)。在类型系统使得用户能编码实现参数化多态的编程语言中(如C++ Haskell Scala)，或明或暗地有kind的概念存在。

Examples

*/$*$是所有数据类型的kind，读作"type”，也可看作0元类型构造器/无参类型构造器，在当前上下文中也称为恰当类型(proper type)，通常也包含函数式编程语言中的函数类型。例如Int/Bool/List<Int>/Map<String, List<Double>>的kind都是*
* -> */$* \rightarrow *$是一元类型构造器(unary type constructor)的kind。例List类型的kind便是* -> *，需要给出一个类型参数Int才能得到恰当类型List<Int>
* -> * -> */$* \rightarrow * \rightarrow *$是二元类型构造器(binary type constructor，curry方式实现)的kind。例如Tuple便是二元类型构造器；函数类型构造器->也属此类（注：对->应用的结果是函数类型，函数类型kind是*）
(* -> *) -> */$(* \rightarrow *) \rightarrow *$是从一元类型构造器到恰当类型的高阶类型操作符的kind

Values	Types	Kinds
`1`	`Int`	`*`
`[1,2,3]`	`List<Int>`	`*`
`(1, "")`	`Tuple<Int, String>`	`*`
`fun i -> i % 2 == 0`	`Int -> Bool`	`*`
-	`List`	`* -> *`
-	`Tuple`	`* -> * -> *`
-	`->`	`* -> * -> *`

从左向右提升抽象层次

Kind In Haskell

Haskell的Kind系统中，$K = * | K \rightarrow K$，它描述了两条规则：*/$*$是所有数据类型的kind；* -> */$* \rightarrow *$是一元类型构造器的kind，接受一个kind然后给出一个kind。

确实有值的类型才是算作具体类型，或者叫恰当类型。例如，4是Int类型的值、[1, 2, 3]是[Int]类型的值、fun i -> i % 2 == 0是Int -> Bool类型的值、fun x -> fun y -> x % y == 0是Int -> Int -> Bool类型的值。这些类型的kind都是*。

一个类型构造器接受一个或多个类型参数，当接受了足够的类型参数之后便产生了一个新类型(类型构造支持基于currying的偏应用)。例如，[]/List接受一个类型参数，这个类型参数指出了内部元素的类型，因此[Int]/[Bool]/[[Int]]都是对于[]的正确应用，[]的kind是* -> *，Int/Bool/[Int]的kind是*，将之应用到[]便得到[Int]/[Bool]/[[Int]]，这些结果类型的kind是*。同理，二元组类型构造器(,)的kind是* -> * -> *，三元组类型构造器(,,)的kind是* -> * -> * -> *

HKT in Programming

静态类型语言中，类型系统来保证值的使用安全性，kind系统是来保证类型的使用安全性。

主流编程语言中提供的一般是一阶参数化多态(first-order parametric polymorphism)，这一功能一般称为泛型(generic)。泛型能对类型进行抽象并进行静态检查，但无法对类型构造器进行抽象，进而无法保证这方面类型安全(不支持HKT的话也写不出来，因为编译器不接受这样的代码，只能舍弃抽象，从而导致代码重复)。

// ---------- Version 1 ----------
trait Iterable[T] {
    def filter(p: T => Boolean): Iterable[T]
    def remove(p: T => Boolean): Iterable[T] = filter(x => !p(x))
}

trait List[T] extends Iterable[T] {
    def filter(p: T => Boolean): List[T] = ???
    override def remove(p: T => Boolean): List[T] = filter(x => !p(x))
}
// ---------- Version 2 ----------
trait Iterable[T, Container[_]] {
    def filter(p: T => Boolean): Container[T]
    def remove(p: T => Boolean): Container[T] = filter(x => !p(x))
}

trait List[T] extends Iterable[T, List]

以上代码用Scala简单演示了引入HKT带来的收益，确实减少了不必要的代码重复，而对于类型安全的保证也不会有任何损失。下面是个稍复杂些的例子，用Haskell和Scala对函子进行定义和实现，从而对HKT进行演示。

-- Functor in Haskell
class Functor f where
    fmap :: (a -> b) -> f a -> f b

-- data Maybe a = Nothing | Just a
instance Functor Maybe where
    fmap _ Nothing = Nothing
    fmap f (Just x) = Just (f x)

-- data List a = Nil | Cons a (List a)
instance Functor List where
    fmap _ Nil = Nil
    fmap f (Cons x xs) = Cons (f x) (fmap f xs)

-- `(->)` is a type constructor. `(->) r a` => `r -> a`
-- here: `fmap :: (a -> b) -> (r -> a) -> (r -> b)`
instance Functor ((->) r) where
    fmap f g = f . g

// Functor in Scala
trait Functor[F[_]] {
    def fmap[A, B](f: A => B)(fa: F[A]): F[B]
}

object OptionFunctor extends Functor[Option] {
    def fmap[A, B](f: A => B)(a: Option[A]): Option[B] = {
        a match {
            case None => None
            case Some(x) => Some(f(x))
        }
    }
}

object ListFunctor extends Functor[List] {
    def fmap[A, B](f: A => B)(list: List[A]): List[B] = {
        list match {
            case Nil => Nil
            case head :: tail => f(head) :: fmap(f)(tail)
        }
    }
}

class FunctionFunctor[R] extends Functor[({type λ[A] = R => A})#λ] {
    def fmap[A, B](f: A => B)(g: R => A): R => B = {
        f compose g
    }
}

分析以上代码，定义函子Functor用到了参数f/F[_]，该参数是个类型构造器，其kind便是* -> *，于是函子Functor的kind便是(* -> *) -> *，这里便是kind的“高阶”所在。此外要注意函数类型构造(->)，对于其返回类型呈(协变)函子性，因此可以固定函数参数类型为r/R，然后可实现r -> ?/R => ?函子。Scala中需要显示指出类型构造器，Haskell可以通过对于参数的应用推断出这是个类型还是个类型构造器。

论文Generics of a Higher Kind解释了Scala对于HKT的设计及应用演示，论文中给出了一个更具实用意义的例子，通过对Iterable基础类库的设计和实现，演示了HKT存在的必要性（上文已简要演示）。此外也简要解释了Scala的“implicit”设计理念，该设计以另一种方式提供了Haskell的Type Class提供的特设多态(ad-hoc polymorphism)功能。此外，Scala的Kind System中，kind还附带着类型的上下界、可变性的约束信息，以此来确保程序的正确性。

F#尚不支持HKT，需要CLR改进才能支持这一功能，对功能的讨论在：Simulate higher-kinded polymorphism。Robert Kuzelj的Higher Kinded Types in F#系列博客演示了HKT存在的必要性以及在F#中如何对其进行模拟。

Higher Kinded Types in typescript博客介绍了在TypeScript中对HKT功能进行模拟。

Rust对HKT的似乎也开始支持，高阶类型 Higher Kinded Type对此进行了简单介绍，看评论似乎不是HKT完整支持。

Haskell on boboboker~

Higher Kinded Type - 高阶类类型

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Kind

Examples

Kind In Haskell

HKT in Programming